8.6 空间直线、平面的垂直

2024-07-18 22:06:14 新建

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系, 它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程, 本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系, 重点研究这些垂直关系的判定和性质.

8.6.1 直线与直线垂直

空间两条直线的位置关系有三种: 平行直线、相交直线和异面直线. 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线, 首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.

观察

如图 8.6-1, 在正方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中, 直线 $A^{'} C^{'}$ 与直线 $A B$ , 直线 $A^{'} D^{'}$ 与直线 $A B$ 都是异面直线, 直线 $A^{'} C^{'}$ 与 $A^{'} D^{'}$ 相对于直线 $A B$ 的位置相同吗? 如果不同, 如何表示这种差异呢?

思路

研究异面直线所成的角, 就是通过平移把异面直线转化为相交直线. 这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.

我们知道, 平面内两条直线相交形成 4 个角, 其中不大于 $9 0^{\circ}$ 的角称为这两条直线所成的角（或夹角）, 它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 类似地，我们也可以用 “异面直线所成的角” 来刻画两条异面直线的位置关系.

定义

如图 8.6-2, 已知两条异面直线 $a, b$ , 经过空间任一点 $O$ 分别作直线 $a^{'} // a, b^{'} // b$ , 我们把直线 $a^{'}$ 与 $b^{'}$ 所成的角叫做异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角 (或夹角).

如果两条异面直线所成的角是直角, 那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线 $a$ 与直线 $b$ 垂直, 记作 $a ⊥ b$ .

当两条直线 $a, b$ 相互平行时, 我们规定它们所成的角为 $0^{\circ}$ . 所以空间两条直线所成角 $α$ 的取值范围是 $0^{\circ} ⩽ α ⩽ 9 0^{\circ}$ .

思考

直线 $a, b$ 所成角的大小与点 $O$ 的位置有关吗?

例 1

如图 8.6-3, 已知正方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .
(1) 哪些棱所在的直线与直线 $A A^{'}$ 垂直?
(2) 求直线 $B A^{'}$ 与 $C C^{'}$ 所成的角的大小.
(3) 求直线 $B A^{'}$ 与 $A C$ 所成的角的大小.

解:

(1) 棱 $A B, BC, C D, D A, A^{'} B^{'}, B^{'} C^{'}, C^{'} D^{'}, D^{'} A^{'}$ 所在直线分别与直线 $A A^{'}$ 垂直.
(2) 因为 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是正方体, 所以 $B B^{'} // C C^{'}$ , 因此 $∠ A^{'} B B^{'}$ 为直线 $B A^{'}$ 与 $C C^{'}$ 所成的角. 又因为 $∠ A^{'} B B^{'} = 4 5^{\circ}$ , 所以直线 $B A^{'}$ 与 $C C^{'}$ 所成的角等于 $4 5^{\circ}$ .
(3) 如图 8.6-4, 连接 $A^{'} C^{'}$ . 因为 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是正方体, 所以 $A A^{'}$ 平行且相等于 $C C^{'}$ . 从而四边形 $A A^{'} C^{'} C$ 是平行四边形, 所以 $A C // A^{'} C^{'}$ . 于是 $∠ B A^{'} C^{'}$ 为异面直线 $B A^{'}$ 与 $A C$ 所成的角.
连接 $B C^{'}$ , 易知 $△ A^{'} B C^{'}$ 是等边三角形, 所以 $∠ B A^{'} C^{'} = 6 0^{\circ}$ .从而异面直线 $B A^{'}$ 与 $A C$ 所成的角等于 $6 0^{\circ}$ .

例 2

如图 8.6-5 (1), 在正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $O_{1}$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心. 求证 $A O_{1} ⊥ B D$ .

分析:

要证明 $A O_{1} ⊥ B D$ , 应先构造直线 $A O_{1}$ 与 $B D$ 所成的角, 若能证明这个角是直角, 即得 $A O_{1} ⊥ B D$ .

证明:

如图 8.6-5 (2), 连接 $B_{1} D_{1}$ .
$∵ A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,
$∴ B B_{1}$ 平行且相等于 $D D_{1}$ .
$∴$ 四边形 $B B_{1} D_{1} D$ 是平行四边形.
$∴ B_{1} D_{1} // B D$ .
$∴$ 直线 $A O_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成的角即为直线 $A O_{1}$ 与 $B D$ 所成的角.
连接 $A B_{1}, A D_{1}$ , 易证 $A B_{1} = A D_{1}$ .
又 $O_{1}$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心,
$∴ O_{1}$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点,
$∴ A O_{1} ⊥ B_{1} D_{1}$ .
$∴ A O_{1} ⊥ B D$ .

从例 1 与例 2 的解答可以看到, 为了简便, 求异面直线 $a, b$ 所成的角时, 点 $O$ 常取在两条异面直线中的一条上. 例如取在直线 $b$ 上, 然后经过点 $O$ 作直线 $a^{'} // a$ , 那么 $a^{'}$ 与 $b$ 所成的角就是异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角（图 8.6-6）.

练习

判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画 “ ”, 错误的画 “ $\times$ ”.
(1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直, 那么另一条也与已知直线垂直. $()$
(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. $()$

如图, 在长方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的各条棱所在直线中,
(1) 与直线 $A B$ 垂直的直线有条;
(2) 与直线 $A B$ 异面且垂直的直线有条;
(3) 与直线 $A B$ 和 $A^{'} D^{'}$ 都垂直的直线有条;
(4) 与直线 $A B$ 和 $A^{'} D^{'}$ 都垂直且相交的直线是直线 .

如图, 在长方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中, $A B = A D = 23, A A^{'} = 2$ , 求:
(1) 直线 $BC$ 和 $A^{'} C^{'}$ 所成的角的大小;
(2) 直线 $A A^{'}$ 和 $B C^{'}$ 所成的角的大小.

如图, 在正三棱柱 $A BC - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中, $D$ 为棱 $A C$ 的中点, $A B = B B^{'} = 2$ , 求证 $B D ⊥ A C^{'}$ .

8.6.2 直线与平面垂直

在日常生活中, 我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如, 旗杆与地面的位置关系（图 8.6-7), 教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等, 都给我们以直线与平面垂直的形象.

观察

如图 8.6-8, 在阳光下观察直立于地面的旗杆 $A B$ 及它在地面的影子 $BC$ . 随着时间的变化, 影子 $BC$ 的位置在不断地变化, 旗杆所在直线 $A B$ 与其影子 $BC$ 所在直线是否保持垂直?

答

事实上, 随着时间的变化, 尽管影子 $BC$ 的位置在不断地变化, 但是旗杆 $A B$ 所在直线始终与影子 $BC$ 所在直线垂直. 也就是说, 旗杆 $A B$ 所在直线与地面上任意一条过点 $B$ 的直线垂直.对于地面上不过点 $B$ 的任意一条直线 $B^{'} C^{'}$ , 总能在地面上找到过点 $B$ 的一条直线与之平行, 根据异面直线垂直的定义, 可知旗杆 $A B$ 所在直线与直线 $B^{'} C^{'}$ 也垂直. 因此, 旗杆 $A B$ 所在直线与地面上任意一条直线都垂直.

定义

一般地, 如果直线 $l$ 与平面 $α$ 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 $l$ 与平面 $α$ 互相垂直, 记作 $l ⊥ α$ . 直线 $l$ 叫做平面 $α$ 的垂线, 平面 $α$ 叫做直线 $l$ 的垂面. 直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点 $P$ 叫做垂足.

画直线与平面垂直时, 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直, 如图 8.6-9 所示.

思考

在同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间, 过一点垂直于已知平面的直线有几条? 为什么?

定理

可以发现, 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

定义

过一点作垂直于已知平面的直线, 则该点与垂足间的线段, 叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

例子

在棱锥的体积公式中, 棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.

下面我们来研究直线与平面垂直的判定, 即探究直线与平面垂直的充分条件.

根据定义可以进行判断, 但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直. 那么, 有没有可行的方法?

探究

如图 8.6-10, 准备一块三角形的纸片 $A BC$ , 过 $△ A BC$ 的顶点 $A$ 翻折纸片, 得到折痕 $A D$ , 将翻折后的纸片坚起放置在桌面上 ( $B D, D C$ 与桌面接触).
(1) 折痕 $A D$ 与桌面垂直吗?
(2) 如何翻折才能使折痕 $A D$ 与桌面垂直? 为什么?

容易发现, $A D$ 所在直线与桌面所在平面 $α$ 垂直（图 8.6-11）的充要条件是折痕 $A D$ 是 $BC$ 边上的高. 这时, 由于翻折之后垂直关系不变, 所以直线 $A D$ 与平面 $α$ 内的两条相交直线 $B D, D C$ 都垂直.

事实上, 由基本事实的推论 2, 平面 $α$ 可以看作由两条相交直线 $B D, D C$ 所唯一确定的, 所以当直线 $A D$ 垂直于这两条相交直线时, 就能保证直线 $A D$ 与 $α$ 内所有直线都垂直.

一般地, 我们有如下判定直线与平面垂直的定理.

定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 那么该直线与此平面垂直.

它可以用符号表示为:

$m \subset α, n \subset α, m \cap n = P, l ⊥ m, l ⊥ n \Rightarrow l ⊥ α .$

定理体现了 “直线与平面垂直” 和 “直线与直线垂直”的互相转化.

思考

两条相交直线可以确定一个平面, 两条平行直线也可以确定一个平面, 那么定理中的 “两条相交直线” 可以改为 “两条平行直线” 吗? 你能从向量的角度解释原因吗? 如果改为 “无数条直线” 呢?

例 3

求证: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知: 如图 8.6-12, $a // b, a ⊥ α$ , 求证 $b ⊥ α$ .

分析:

要证明直线 $b ⊥ α$ , 根据直线与平面垂直的判定定理可知, 只需证明直线 $b$ 垂直于平面 $α$ 内的两条相交直线即可.

证明:

如图 8.6-13, 在平面 $α$ 内取两条相交直线 $m, n$ .
$∵$ 直线 $a ⊥ α$ ,
$∴ a ⊥ m, a ⊥ n$ .
$∵ b // a$ ,
$∴ b ⊥ m, b ⊥ n$ .
又 $m \subset α, n \subset α, m, n$ 是两条相交直线,
$∴ b ⊥ α$ .

思考

你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗?

定义直线和平面所成角

如图 8.6-14, 一条直线 $l$ 与一个平面 $α$ 相交, 但不与这个平面垂直, 这条直线叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点 $A$ 叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点 $P$ 向平面 $α$ 引垂线 $PO$ , 过垂足 $O$ 和斜足 $A$ 的直线 $A O$ 叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 $9 0^{\circ}$ ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 $0^{\circ}$ 。直线与平面所成的角 $θ$ 的取值范围是 $0^{\circ} ⩽ θ ⩽ 9 0^{\circ}$ .

思考

如果 $A B$ 是平面 $α$ 内的任意一条不与直线 $A O$ 重合的直线, 那么直线 $P A$ 与直线 $A B$ 所成的角和直线 $P A$ 与这个平面所成的角的大小关系是什么?

例 4

如图 8.6-15，在正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，求直线 $A_{1} B$ 和平面 $A_{1} D C B_{1}$ 所成的角。

分析：

关键是找出直线 $A_{1} B$ 在平面 $A_{1} D C B_{1}$ 上的射影。

解：

连接 $B C_{1}, B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 相交于点 $O$ ，连接 $A_{1} O$ 。设正方体的棱长为 $a$ 。
$∵ A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}, A_{1} B_{1} ⊥ B_{1} B, B_{1} C_{1} \cap B_{1} B = B_{1}$ ,
$∴ A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $BC C_{1} B_{1}$ .
$∴ A_{1} B_{1} ⊥ B C_{1}$ .
又 $B C_{1} ⊥ B_{1} C$ ,
$∴ B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D C B_{1}$ .
$∴ A_{1} O$ 为斜线 $A_{1} B$ 在平面 $A_{1} D C B_{1}$ 上的射影， $∠ B A_{1} O$ 为 $A_{1} B$ 和平面 $A_{1} D C B_{1}$ 所成的角.
在 Rt $△ A_{1} BO$ 中, $A_{1} B = 2 a, BO = \frac{2}{2} a$ ,
$∴ BO = \frac{1}{2} A_{1} B$ .
$∴ ∠ B A_{1} O = 3 0^{\circ}$ .
$∴$ 直线 $A_{1} B$ 和平面 $A_{1} D C B_{1}$ 所成的角为 $3 0^{\circ}$ .