2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2024-01-21 22:55:59 新建

在初中, 我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式, 发现了三者之间的内在联系, 利用这种联系可以更好地解决相关问题. 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式, 是否也有这样的联系呢? 先来看一个问题.

问题

园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉. 若栅栏的长度是 $24 m$ , 围成的矩形区域的面积要大于 $20 m^{2}$ , 则这个矩形的边长为多少米?

解第1部分

设这个矩形的一条边长为 $x m$ , 则另一条边长为 $(12 - x) m$ . 由题意, 得

$(12 - x) x > 20,$

其中 $x \in {x ∣ 0 < x < 12}$ . 整理得

$x^{2} - 12 x + 20 < 0, x \in {x ∣ 0 < x < 12} . (1)$

求得不等式(1)的解集, 就得到了问题的答案.

定义

一般地, 我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式 (quadratic inequality with one unknown). 一元二次不等式的一般形式是

$a x^{2} + b x + c > 0 或 a x^{2} + b x + c < 0,$

其中 $a, b, c$ 均为常数, $a \neq = 0$ .

思考

在初中, 我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法. 类似地, 能否从二次函数的观点看一元二次不等式, 进而得到一元二次不等式的求解方法呢?

解第2部分

下面, 我们先考察一元二次不等式 $x^{2} - 12 x + 20 < 0$ 与二次函数 $y = x^{2} - 12 x + 20$ 之间的关系.

分析1

如图 2.3-1, 在平面直角坐标系中画出二次函数 $y = x^{2} - 12 x + 20$ 的图象, 图象与 $x$ 轴有两个交点. 这两个交点的横坐标就是方程 $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ 的两个实数根 $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 10$ , 因此二次函数 $y = x^{2} - 12 x + 20$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点是 $(2, 0)$ 和 $(10, 0)$ .

定义

一般地, 对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ , 我们把使 $a x^{2} +$ $b x + c = 0$ 的实数 $x$ 叫做二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的零点.

分析2

于是, 二次函数 $y = x^{2} - 12 x + 20$ 的两个零点是 $x_{1} = 2, x_{2} = 10$ .

分析3

从图 2.3-1 可以看出, 二次函数 $y = x^{2} - 12 x + 20$ 的两个零点 $x_{1} = 2, x_{2} = 10$ 将 $x$ 轴分成三段. 相应地, 当 $x < 2$ 或 $x > 10$ 时, 函数图象位于 $x$ 轴上方, 此时 $y > 0$ , 即 $x^{2} -$ $12 x + 20 > 0$ ; 当 $2 < x < 10$ 时, 函数图象位于 $x$ 轴下方, 此时 $y < 0$ , 即 $x^{2} - 12 x + 20 < 0$ . 所以, 一元二次不等式 $x^{2} -$ $12 x + 20 < 0$ 的解集是

${x ∣ 2 < x < 10} .$

解第3部分

因为 ${x ∣ 2 < x < 10} \subseteq {x ∣ 0 < x < 12}$ , 因此当围成的矩形的一条边长 $x$ 满足 $2 < x < 10$ 时, 围成的矩形区域的面积大于 $20 m^{2}$ .

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 和 $a x^{2} + b x +$ $c < 0 (a > 0)$ 的解集. 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点, 所以先求出一元二次方程的根, 再根据二次函数图象与 $x$ 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.

我们知道, 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ , 设 $Δ = b^{2} - 4 a c$ , 它的根按照 $Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0$ 可分为三种情况. 相应地, 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的位置关系也分为三种情况. 因此, 我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 和 $a x^{2} + b x + c < 0 (a > 0)$ 的解集 (表 2.3-1).

表 2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

	$Δ > 0$	$Δ = 0$	$Δ < 0$
$y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象
$a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 的根	有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$	有两个相等的实数根 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$	没有实数根
$a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 的解集	${x ∣ x < x_{1}$ , 或 $x > x_{2}}$	${x ∣ ∣ ∣ x \neq = - \frac{b}{2 a}}$	$R$
$a x^{2} + b x + c < 0 (a > 0)$ 的解集	${x ∣ x_{1} < x < x_{2}}$	$\emptyset$	$\emptyset$

例 1

求不等式 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 的解集.

分析:

因为方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根是函数 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 的零点, 所以先求出 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根, 再根据函数图象得到 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 的解集.

解：

对于方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , 因为 $Δ > 0$ , 所以它有两个实数根. 解得 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ .

画出二次函数 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 的图象 (图 2.3-2), 结合图象得不等式 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 2$ , 或 $x > 3}$ .

例 2

求不等式 $9 x^{2} - 6 x + 1 > 0$ 的解集.

解:

对于方程 $9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ , 因为 $Δ = 0$ , 所以它有两个相等的实数根, 解得 $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{3}$ .

画出二次函数 $y = 9 x^{2} - 6 x + 1$ 的图象（图 2.3-3), 结合图象得不等式 $9 x^{2} - 6 x + 1 > 0$ 的解集为 ${x ∣ ∣ ∣ x \neq = \frac{1}{3}}$ .

对于二次项系数是负数（即 $a < 0$ ）的不等式，可以先把二次项系数化成正数, 再求解.

例 3

求不等式 $- x^{2} + 2 x - 3 > 0$ 的解集.

解:

不等式可化为 $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ .
因为 $Δ = - 8 < 0$ , 所以方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 无实数根.
画出二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的图象 (图 2.3-4).

结合图象得不等式 $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ 的解集为 $\emptyset$ .
因此, 原不等式的解集为 $\emptyset$ .

思考

现在, 你能解决第 2.1 节的 “问题 2 ” 了吗?

利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程. 这里, 我们以求解可化成 $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 形式的不等式为例, 用框图表示其求解过程（图 2.3-5).

练习

求下列不等式的解集:
(1) $(x + 2) (x - 3) > 0$ ;
(2) $3 x^{2} - 7 x ⩽ 10$ ;
(3) $- x^{2} + 4 x - 4 < 0$ ;
(4) $x^{2} - x + \frac{1}{4} < 0$ ;
(5) $- 2 x^{2} + x ⩽ - 3$ ;
(6) $x^{2} - 3 x + 4 > 0$ .

当自变量 $x$ 在什么范围取值时，下列函数的值等于 0 ? 大于 0 ? 小于 0 ?
(1) $y = 3 x^{2} - 6 x + 2$ ;
(2) $y = 25 - x^{2}$ ;
(3) $y = x^{2} + 6 x + 10$ ;
(4) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

利用一元二次不等式可以解决一些实际问题, 下面看两个例子.

例 4

一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量 $x$ （单位: 辆）与创造的价值 $y$ （单位: 元）之间有如下的关系:

$y = - 20 x^{2} + 2200 x .$

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60000 元以上, 则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?

解：

设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 $x$ 辆摩托车, 根据题意, 得

$- 20 x^{2} + 2200 x > 60000 .$

移项整理, 得

$x^{2} - 110 x + 3000 < 0 .$

对于方程 $x^{2} - 110 x + 3000 = 0, Δ = 100 > 0$ , 方程有两个实数根 $x_{1} = 50, x_{2} = 60$ .

画出二次函数 $y = x^{2} - 110 x + 3000$ 的图象 (图 2.3-6), 结合图象得不等式 $x^{2} - 110 x + 3000 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 50 < x < 60}$ ,从而原不等式的解集为

${x ∣ 50 < x < 60} .$

因为 $x$ 只能取整数值, 所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在 $51 \sim 59$ 辆时, 这家工厂能够获得 60000 元以上的收益.

例 5

某种汽车在水泥路面上的刹车距离 $s$ (单位: $m$ ) 和汽车刹车前的车速 $v$ (单位: $k m / h$ ) 之间有如下关系:

$s = \frac{1}{2 0} v + \frac{1}{1 8 0} v^{2} .$

在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 $39.5 m$ ,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少 (精确到 $1 k m / h$ )?

刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.

解:

根据题意, 得

$\frac{1}{2 0} v + \frac{1}{1 8 0} v^{2} > 39.5 .$

移项整理, 得

$v^{2} + 9 v - 7110 > 0 .$

对于方程 $v^{2} + 9 v - 7110 = 0, Δ > 0$ , 方程有两个实数根

$v_{1} = \frac{- 9 - 2 8 5 2 1}{2}, v_{2} = \frac{- 9 + 2 8 5 2 1}{2} .$

画出二次函数 $s = v^{2} + 9 v - 7110$ 的图象（图 2.3-7）,结合图象得不等式的解集为 ${v ∣ v < v_{1}$ , 或 $v > v_{2}}$ , 从而原不等式的解集为

${v ∣ v < v_{1}, 或 v > v_{2}} .$

因为车速 $v > 0$ , 所以 $v > v_{2}$ . 而 $79.9 < v_{2} < 80$ , 所以这辆汽车刹车前的车速至少为 $80 k m / h$ .

类似地, 第 2.1 节的不等式(1)经移项整理, 得 $2 x^{2} - 13 x + 20 ⩽ 0$ . 用上述方法解这个不等式, 得 ${x ∣ 2.5 ⩽ x ⩽ 4}$ . 所以, 当每本杂志的定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时,提价后的销售总收人不低于 20 万元.

练习

$x$ 是什么实数时, $x^{2} + x - 12$ 有意义?

如图, 在长为 $8 m$ , 宽为 $6 m$ 的矩形地面的四周种植花卉, 中间种植草坪. 如果要求花卉带的宽度相同, 且草坪的面积不超过总面积的一半, 那么花卉带的宽度应为多少米?

某网店销售一批新款削笔器, 每个削笔器的最低售价为 15 元. 若按最低售价销售, 每天能卖出 30 个; 若一个削笔器的售价每提高 1 元, 日销售量将减少 2 个. 为了使这批削笔器每天获得 400 元以上的销售收人, 应怎样制定这批削笔器的销售价格?

习题 2.3

复习巩固

求下列不等式的解集:
(1) $13 - 4 x^{2} > 0$ ;
(2) $(x - 3) (x - 7) < 0$ ;
(3) $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ ;
(4) $- 3 x^{2} + 5 x - 4 > 0$ .

$x$ 是什么实数时, 下列各式有意义?
(1) $x^{2} - 4 x + 9$ ；
(2) $- 2 x^{2} + 12 x - 18$ .

综合运用

已知 $M = {x ∣ 4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}, N = {x ∣ x^{2} - 5 x - 6 > 0}$ , 求 $M \cap N, M \cup N$ .

一名同学以初速度 $v_{0} = 12 m / s$ 坚直上抛一排球, 排球能够在抛出点 $2 m$ 以上的位置最多停留多长时间 (精确到 $0.01 s$ )?

若不计空气阻力, 则坚直上拋的物体距离拋出点的高度 $h$ 与时间 $t$ 满足关系 $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ , 其中 $g \approx 10 m / s^{2}$ .

已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 16 < 0}, B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 > 0}$ ,求 $A \cup B$ .

拓广探索

如图, 据气象部门预报, 在距离某码头南偏东 $4 5^{\circ}$ 方向 $600 k m$ 处的热带风暴中心正以 $20 k m / h$ 的速度向正北方向移动, 距风暴中心 $450 k m$ 以内的地区都将受到影响. 据以上预报估计, 从现在起多长时间后, 该码头将受到热带风暴的影响, 影响时间大约为多长 (精确到0.1 h)?